已知函数；． 当时，求函数f在上的值域；若对任意，总有成立，求实数的取值范围；若，且对任意，总有成立，求M

题文

（本小题满分14分）已知函数；． （1）当时，求函数f（x）在上的值域；（2）若对任意，总有成立，求实数的取值范围；（3）若（为常数），且对任意，总有成立，求M的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）在的值域为（2）实数的取值范围为（3）当时，M的取值范围是；当时，M的取值范围是

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解析

解：（1）当时，-因为f（x）在上递减，-----------------2分所以，即f（x）在的值域为----------------4分（法二），，对称轴，时为增函数，---------------2分，f（x）在的值域为------------------4分（2）由题意知，在上恒成立。，    ∴在上恒成立∴ -----------------------------5分设，，，由得 t≥1，设，,（可用导数方法证明单调性：）所以在上递减，在上递增，-------------------------------7分在上的最大值为， 在上的最小值为 所以实数的取值范围为------------------------------------9分（3），∵ m>0 ，     ∴ 在上递减，--------------------------10分∴   即----------------------------------------11分①当，即时，，此时 ，-----------------------------------------------------------12分②当，即时，，此时 ，---------------------------------------------------------13分综上所述，当时，M的取值范围是；当时，M的取值范围是-----------------------------14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数；． （1）.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=ax（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于在实数范围内函数值不存在．如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．③像等函数都不是指数函数，要注意区分。