(12分) 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，且f(

题文

(12分) 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，且f(-2)＞f(3)，设m＞-n＞0.(1) 试证明函数f(x)在(0，+∞)上是减函数；(2) 试比较f(m)和f(n)的大小，并说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析；（2）f(m)＜f(n).

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解析

（1）∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，∴对任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立，据此可求出b="0." f(x)=ax2+c.再根据f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),得f(2)＞f(3),因而a<0.且f(x)在(0，+∞)上是减函数..（2）∵m＞-n＞0,∴f(m)＜f(-n).,再根据f(-n)=f(n)，可得f(m)＜f(n)..∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，∴对任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立.∴2bx=0对任意x∈R恒成立.∴b=0.∴f(x)=ax2+c.∵f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),∴f(2)＞f(3).∴a<0.且f(x)在(0，+∞)上是减函数.又∵m＞-n＞0,∴f(m)＜f(-n).而f(-n)=f(n)，∴f(m)＜f(n).

考点

据考高分专家说，试题“(12分) 若二次函数f(x)=ax2+.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。 （2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质： （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，若b=0，则图像过第一、三象限；若b>0，则图像过第一、二、三象限；若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，若b=0，则图像过第二、四象限；若b>0，则图像过第一、二、四象限；若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。