已知函数f ( x )=x 2+ax+b若f (x)在[ 1，+∞)内递增，求实数a的范围。若对任意的实数x都有f (1+x)="f"

题文

（满分12分）已知函数f ( x )=x 2+ax+b（1）若f (x)在[ 1，+∞)内递增，求实数a的范围。（2）若对任意的实数x都有f (1+x)="f" (1－x) 成立，①求实数 a的值；②证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数. 题型：未知 难度：其他题型

答案

① a＝－2②略

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解析

解：（1）a ≥－2 (2)由f(1+x)=f(1－x)得，(1＋x)2＋a(1＋x)＋b＝(1－x)2＋a(1－x)＋b，即：(a＋2)x＝0，由于对任意的x都成立，∴ a＝－2.可知 f (x)=x 2－2x+b，下面证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.设，则＝（）－（）＝（）－2（）＝（）（－2）∵，则＞0，且－2＞2－2＝0，∴ ＞0，即，故函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数. 法2：可用导数证明

考点

据考高分专家说，试题“（满分12分）已知函数f ( x )=x.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。 （2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质： （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，若b=0，则图像过第一、三象限；若b>0，则图像过第一、二、三象限；若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，若b=0，则图像过第二、四象限；若b>0，则图像过第一、二、四象限；若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。