已知函数求函数的极值；对于函数和定义域内的任意实数,若存在常数,使得不等式和都成立,则称直线是函数和的“分界线”．设函数，，试问函数和是否存在“分

题文

已知函数（I）求函数的极值；（II）对于函数和定义域内的任意实数,若存在常数,使得不等式和都成立,则称直线是函数和的“分界线”．设函数，，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）,无极大值；（II）函数和存在“分界线”，方程为．

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解析

（I）首先求函数的定义域，解方程得可能的极值点，进一步得的单调性，最后根据导函数在零点附近的变号情况求的极值；（II）函数和的图象在处有公共点.设函数和存在“分界线”，方程为，由对任意恒成立，确定常数，从而得“分界线”的方程为，再证明在时也恒成立，最后确定函数和的“分界线”就是直线．试题解析：（I）．令得，所以在上单调递减，上单调递增，又，所以,无极大值.  （II）由（I）知，所以函数和的图象在处有公共点.  设函数和存在“分界线”，方程为，应有对任意恒成立，即在时恒成立，于是，得，则“分界线”的方程为． 记，则令得，所以在上单调递增，上单调递减，当时，函数取得最大值，即在时恒成立.  综上所述，函数和存在“分界线”，方程为 ……

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（I）求函数的极值；（II）对于.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.