已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数

题文

已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为. (Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出， 求证：；(Ⅲ)定义集合请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）(Ⅱ)见解答(Ⅲ).

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解析

（I）理解且的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到 ，再运用为增函数建立不等式，导出，运用 即可. (Ⅲ)判断 即运用反证法证明,如果使得则利用即为增函数一定可以找到一个，使得，对成立;同样用反证法证明证明在上无解;从而得到，对成立,即存在常数，使得，，有成立,选取一个符合条件的函数判断 的最小值是 ,由上面证明结果确定 即是符合条件的所有函数的结果.试题解析：（I）因为且，即在是增函数，所以        2分而在不是增函数，而 当是增函数时，有，所以当不是增函数时，. 综上得       4分(Ⅱ) 因为，且 所以，所以，同理可证，三式相加得 所以                                                    6分因为所以 而，所以 所以                                          8分(Ⅲ) 因为集合 且存在常数 ,使得任取 所以，存在常数 ，使得  对成立我们先证明对成立假设使得，记 因为是二阶增函数，即是增函数.所以当时，，所以 所以一定可以找到一个，使得 这与  对成立矛盾                                11分对成立所以，对成立下面我们证明在上无解假设存在，使得，则因为是二阶增函数，即是增函数一定存在，这与上面证明的结果矛盾所以在上无解综上，我们得到，对成立所以存在常数，使得，，有成立又令，则对成立，又有在上是增函数，所以，而任取常数，总可以找到一个，使得时，有 所以的最小值为.                                         14分

考点

据考高分专家说，试题“已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.