已知函数，．求函数的单调区间,并确定其零点个数；若在其定义域内单调递增，求的取值范围；证明不等式 ．

题文

已知函数（，），．（1）求函数的单调区间,并确定其零点个数；（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；（3）证明不等式 （）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点.（2）（3）由（2）可知 当时，在内单调递增，而所以当时， 即   放缩法来得到。

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解析

解：（1）                 1分则                  2分（i）若，则当时，；当时，所以 为的增区间，为的减区间.        3分极大值为所以只有一个零点.（ii）若，则当时，；当时，所以 为的减区间，为的增区间.极小值为              4分所以只有一个零点.综上所述，当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点. 5分（2）               6分由在其定义域内单调递增，可知,恒成立.则   恒成立.          7分(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点)可得或  8分则 或则 或得 .可以验证 当时在其定义域内单调递增故 .                         9分(法二)分离变量 因  （当且仅当，即时取到等号） 8分所以 ， 则.可以验证 当时在其定义域内单调递增故                           9分（3）由（2）可知 当时，在内单调递增，而所以当时，即                     10分令 ，则                    11分则 所以 ，，  , ,,以上个式子累加可得 12分则 则           13分则 故  （）．      14分点评：主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数与不等式中的运用，属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（，），．（1）求函数的单调区间.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.