已知函数，.(1)设函数，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

题文

已知函数，.(1)设函数，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅱ） () ．

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解析

（I）因为，函数，.所以=－lnx，其定义域为（0，+）。，当a=0时，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）单调递减；当a>0时，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）单调递减；当a<0时，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）单调递减。（Ⅱ）把方程整理为，即为方程.       5分设 ，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点.           6分         7分令，因为，解得或（舍）             8分当时, , 是减函数；当时, ，是增函数 10分在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 即 ∴解得, 所以的取值范围是() ．点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。（I）中要对a的不同取值情况加以讨论，在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值，通过构建a的不等式组，求得a的范围。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，.(1)设函数，求函数的单调区.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.