已知函数． 证明函数的图像关于点对称;若，求；在的条件下，若，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．

题文

已知函数． （1）证明函数的图像关于点对称;（2）若，求；（3）在（2）的条件下，若 ，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数的定义域为，设、是函数图像上的两点, 其中且,则有，因此函数图像关于点对称（2）（3）

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解析

（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,则有 因此函数图像关于点对称                           4分 （2）由（1）知当时，①     ②①+②得                         8分（3）当时，当时，， 当时， = ∴ （）又对一切都成立，即恒成立∴恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值∴，即所以的取值范围是                                12分点评：证明函数关于点对称只需证明，第二问数列求和结合通项的特点采用倒序相加法，第三问将不等式恒成立转化为求函数最值，进而可借助于导数求解

考点

据考高分专家说，试题“已知函数． （1）证明函数的图像关于点对.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.