．．定义在上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.当时，求函数在上的值域，并

题文

．．（本小题满分14分）定义在上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求函数在上的上界的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）当时，.∵在上递增，所以，即在上的值域为.    …………………………… 2分故不存在常数，使成立. 所以函数在上不是有界函数.………………………… 4分（Ⅱ）∵函数在上是以3为上界的有界函数，在上恒成立. ,在上恒成立.…………………………………… 6分设，，.由,得.设，则，，所以在 上递增，在上递减.在上的最大值为，在上的最小值为.所以实数的取值范围为. ……………………………………… 9分（Ⅲ）解法一:，.∵，,.∴，∵∴. …………………………………………… 11分①当即时， ，此时；②当即时，，此时.综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是………… 14分解法二：.令，因为，所以..因为在上是减函数，所以.………… 11分又因为函数在上的上界是，所以.①当即时，；②当即时，.…………… 14分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“．．（本小题满分14分）定义在上的函数，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.