设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.求函数的解析式；试写出一个区间，使得当时，且数列是递增数列，并说明理由；已知，是

题文

（本题满分12分）设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.（1）求函数的解析式；（2）试写出一个区间，使得当时，且数列是递增数列，并说明理由；（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由恒成立等价于恒成立 ……1分从而得：，化简得，从而得，所以，                                            ………3分（2）解：若数列是递增数列，则即： ………5分又当时，，所以有且，所以数列是递增数列。       …………7分注：本题的区间也可以是、、、………，等无穷多个.（3）由（2）知，从而；，即；                                        ………8分令，则有且；从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，         从而得，即，所以 ，                          ……………………10分所以，所以，所以，.………………………11分即，所以，恒成立（1）  当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。（2）  当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。所以，对任意，有。又非零整数，…………………12分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）设二次函数，对任意实数.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.