已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则A．2B．3C．4D．6

题文

已知函数

解析

分析：先由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，得函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，故有f（-x）=f（x）．再把-2代入f（x+4）-f（x）=2f（2），可得函数周期为4；就把f（2011）转化为f（3）=f（-1）=f（1）即可求解．解：∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，∴函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）．∵对任意x∈R，都有f（x+4）-f（x）=2f（2），∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）∴f（-2）+f（2）=0，即2f（2）=0，∴f（2）=0．∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），即函数周期为4．∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．故选A．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.