某专卖店销售一新款服装，日销售量f (n) 与时间n的函数关系如下图所示，其中函数f (n)

题文

（满分12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f (n) 与时间n（1≤n≤30、nÎ N*）的函数关系如下图所示，其中函数f (n) 图象中的点位于斜率为 5 和－3 的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.(Ⅰ)求f (n) 的表达式，及前m天的销售总数；(Ⅱ)按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于 30 件时，该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天？请说明理由.

解析

(I) 根据题意，设f (n) = （nÎN*），  1分而    f (1) = 2，∴ 5 + a =" 2" Þa = －3．          2分又     5m + a = －3m + b，∴b = 8m + a = 8m－3，         3分∴    f (n) = （nÎN*）．       4分由    f (m) = 57得m = 12．                   5分∴    f (n) = ，（nÎN*） 6分前 12 天的销售总量为 5 (1 + 2 + 3 + … + 12)－3×12 =" 354" 件．         7分(II)   第 13 天的销售量为f (13) = －3×13 + 93 =" 54" 件，      8分而 354 + 54 > 400 件，∴    从第 14 天开始销售总量超过 400 件，即开始流行．   9分设第x 天的日销售量开始低于 30 件 (12 < x≤ 30)，即f (x) = －3x + 93 < 30 ，   10分解得x > 21．        11分∴    从第 22 天开始日销售量低于 30 件．∵     21－13 = 8，∴    该服装流行的时间不超过10天．       12分

考点

据考高分专家说，试题“（满分12分）某专卖店销售一新款服装，日.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.