提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v是车流密度x的函数．当车流密度不超过50辆/

题文

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足v(x)=40-k250-x．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．（Ⅰ）当0＜x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到个位，参考数据5≈2.236） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意：当0＜x≤50时，v（x）=30；当50≤x≤200时，由于v(x)=40-k250-k，再由已知可知，当x=200时，v（0）=0，代入解得k=2000．故函数v（x）的表达式为v(x)=30， 0＜x≤5040-2000250-x，50＜x≤200．…（6分）（II）依题意并由（I）可得f(x)=30x， 0＜x≤5040x-2000x250-x，50＜x≤200，当0≤x≤50时，f（x）=30x，当x=50时取最大值1500．当50＜x≤200时，f（x）=40x-2000x250-x=12000-[40（250-x）+500000250-x]≤12000-240(250-x)×500000250-x=12000-40005≈12000-4000×2.236=3056．取等号当且仅当40(250-x)=500000250-x，即x=250-505≈138时，f（x）取最大值．（这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．…（14分）

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解析

k250-k

考点

据考高分专家说，试题“提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.