某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为

题文

某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（I）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16（x2-600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为8-x-251×0.2，根据销售的总收人不低于原收入，有(8-x-251×0.2)x≥25×8，（3分）整理得x2-65x+1000≤0，解得25≤x≤40． （5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+15x有解，（8分）等价于x＞25时，a≥150x+16x+15有解，（9分）∵150x+16x≥2150x•16x=10（当且仅当x=30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． （13分）

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解析

x-251

考点

据考高分专家说，试题“某种商品原来每件售价为25元，年销售量8.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.