某地西红柿上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨势态，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f=a

题文

某地西红柿上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨势态，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f（x）=a•bx，②f（x）=ax2+bx+1，③f（x）=x（x-b）2+a，（以上三式中a，b均是不为零的常数，且b＞1）（1）为了准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，5]）．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此类推；为保证该地的经济收益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该西红柿将在哪几个月份内价格下跌． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，符合本题函数模型的函数必须先单调递增，再单调递减，最后单调递增，所以最符合的函数模型为③f（x）=x（x-b）2+a．分析：∵f（x）=x（x-b）2+a=x3-2bx2+b2x+a．对此函数求导，得f′(x)=3x2-4bx+b2=3(x-b)(x-b3)，由f′（x）=0，得x1=b，x2=b3．由b＞1知，f（x）在(-∞，b3]和[b，+∞）上单调递增，在（b3，b）上单调递减，符合题意．（2）将f（0）=4，f（2）=6代入f（x）=x（x-b）2+a=x3-2bx2+b2x+a．得f(0)=a=4f(2)=8-8b+2b2+4=6，解得a=4b=3．∴f（x）=x3-6x2+9x+4（x∈[0，5]）．f′（x）=3x2-12x+9=3（x-3）（x-1），由（1）得f（x）在（1，3）上单调递减，依题意，可以预测这种西红柿将在9，10两月份价格下跌．

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解析

b3

考点

据考高分专家说，试题“某地西红柿上市时间仅能持续5个月，预测上.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.