某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号．开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟

题文

某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号．开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，请你解决以下问题：（Ⅰ）若要求8分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放几个窗口？（Ⅱ）若医院做出承诺，开始挂号后每人等待的时间不超过25分钟，问：若N=60，当只开放一个窗口时，能否实现做出的承诺？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设要同时开放x个窗口才能满足要求，则 N+40M=40K(1)N+15M=15K×2(2)N+8M≤8Kx(3)由（1）、（2）得K=2.5MN=60M代入（3）得60M+8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4．故至少同时开放4 个窗口才能满足要求．（Ⅱ）N=60时，K=2.5，M=1，设第n个人的等待时间为f（n）．当n≤60时，第n个人的等待时间为他前面的n-1个人挂号完用去的时间；当n＞60时，第n个人的等待时间为他前面的n-1个人挂号．用去的时间减去他在开始挂号后到来挂号用去的时间，即f（n）=n-12.5(n≤60)n-12.5-(n-60)(n＞60)当n≤60时，则当n=60时，f（n）取最大值为23.6分钟．当n＞60时，则当n=61时，f（n）取最大值为23分钟．故等待时间最长为23.6分钟，说明能够实现承诺．

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解析

N+40M=40K(1)N+15M=15K×2(2)N+8M≤8Kx(3)

考点

据考高分专家说，试题“某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.