为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．今年暑假我校学生公寓建造了可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元．学生公

题文

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．今年暑假我校学生公寓建造了可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元．学生公寓每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k2x+3(0≤x≤10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为10万元．设f（x）为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式；（2）我校做到了使总费用f（x）达到最小，请你计算学生公寓隔热层修建的厚度和总费用的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，当x=0，C（x）=10，代入C（x）=k2x+3，得k=30．…（3分）所以f（x）=4x+15C（x）=4x+4502x+3（0≤x≤10）…（6分）（2）f（x）=4x+4502x+3=4x+6+4502x+3-6=2（2x+3）+4502x+3-6≥22(2x+3)•4502x+3-6=54…（10分）等号成立当且仅当2（2x+3）=4502x+3即x=6．…（12分）因此隔热层修建6 cm时，总费用f（x）达到最小，最小值为54元．…（13分）f′（x）=4-900(2x+3)2=16(x+9)(x-6)(2x+3)2，当x=6时f′（x）=0…（14分）

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解析

k2x+3

考点

据考高分专家说，试题“为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.