学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学

题文

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=34+a•2-t•100%（其中f（t））为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；（2）已知2x＞xln2对任意x＞0恒成立，现定义f(t)t为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间f∈（1，2）时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(t)=  34+a•2-t ×100%，且f（2）=60%34+a•2-t×100%=60%，可得a=4∴f（t）=34(1+2-t)，(t≥0)∴f(0)=34(1+1)=38=37.5%f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5% （4分）（2）令学习效率指数y=f(t)t，y=f(t)t=34t(1+2-t)=34(t+t2t)（t＞0）现研究g(t)=t2t+t 的单调性g′(t)=1+2t-t•2tln22t=2t-tln2+12t（t＞0）（6分）又已知x＞0时，2x＞xln2恒成立所以2t-tln2＞0恒成立∴g（t）在（0，+∞）上为增函数且g（t）为正数∴y=f(t)t=34(t+t2t)在(0，+∞ )上为减函数．  （8分）而y|t=1=f(1)1=12，y|t=2=f(2)2=310∴y=f(t)t∈(310，12)故所求学习效率指数的取值范围是（310，12） （10分）

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解析

34+a•2-t

考点

据考高分专家说，试题“学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.