已知函数f=2x,x∈R.解方程:f

更新时间:2023-02-04 16:03:41 阅读: 评论:0

题文

已知函数f(x)=2x,x∈R.(Ⅰ)解方程:f(2x)-f(x+1)=8;(Ⅱ)设a∈R,求函数g(x)=f(x)+a•4x在区间[0,1]上的最大值M(a)的表达式;(Ⅲ)若f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2),f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x1)f(x2)f(x3),求x3的最大值. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(Ⅰ)所给的方程即 (2x)2-2•2x-8=0,可得2x=4或2x=-2(舍去),所以x=2.(Ⅱ)由于 g(x)=2x+a•4x,x∈[0,1],令t=2x,则t∈[1,2],①当a=0时,M(a)=2;②当a≠0时,令 h(t)=at2+t=a(t+12a)2-14a,若a>0,则M(a)=h(2)=4a+2,若a<0,当0<-12a<1,即a<-12时,M(a)=h(1)=a+1,当-12a>2,即-14<a<0时,M(a)=h(2)=4a+2,当1≤-12a≤2,即-12≤a≤-14时,M(a)=h(-12a)=-14a,综上,M(a)=4a+2,a>-14a+1,a<-12-14a,-12≤a≤-14. (Ⅲ)由题意知:2x1+2x2=2x1+x22x1+2x2+2x3=2x1+x2+x3,化简可得2x1+x2+2x3=2x1+x2•2x3,所以2x3=2x1+x22x1+x2-1=tt-1,其中t=2x1+x2=2x1+2x2≥22x1+x2=2t,所以t≥4,由2x3=tt-1=11-1t知2x3的最大值是43,又y=2x单调递增,所以x3=log243=2-log23.

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解析

12a

考点

据考高分专家说,试题“已知函数f(x)=2x,x∈R.(Ⅰ)解.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义: 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f(x)=a·bx+c(a、b、c为常数,a≠0,b>0,b≠1)的形式,进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类:;②.无论是哪一类,要搞清楚复合过程,才能确定复合函数的值域和单调区间,具体问题中,a的取值不定时,要对a进行分类讨论.(2)对于形如一类的指数型复合函数,有以下结论:①函数的定义域与f(x)的定义域相同;②先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,确定函数的值域;③当a>l时,函数与函数f(x)的单调性相同;当O与函数f(x)的单调性相反.

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