函数y=ex的图象向下平移b个单位后得到的图象记为Cb，Cb与x轴交于Ab点，与y轴交于Bb点，O为坐标原点写出C

题文

函数y=ex（e为自然对数的底数）的图象向下平移b（0＜b，b≠1）个单位后得到的图象记为Cb，Cb与x轴交于Ab点，与y轴交于Bb点，O为坐标原点（1）写出Cb的解析式和Ab，Bb两点的坐标（2）判断线段OAb，OBb长度大小，并证明你的结论（3）是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似，如果相似，能否全等？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题得y=ex-b，令y=0，Ab（lnb，0）；令x=0，Bb（0，1-b）．（2）OAb=|lnb|，OBb=|1-b|．①当0＜b＜1时，OAb=-lnb，OBb=1-b．设函数f（x）-lnx-x-1 （0＜x＜1），f'（x）=1x-1＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，∴f（x）＜f（1）=0，∴-lnx＞-x+1∴OAb＞OBb．②当b＞1时，同理可得OAb＞OBb，（3）①当三角形同在第二象限时，0＜m＜1，0＜n＜1时，OAb＞OBb，若Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似，只有1-m-lnm=1-n-lnn⇒1-mlnm=1-nlnn，设函数g（x）=1-xlnx（0＜x＜1），g'（x）=-lnx-1x+1ln 2x=x-xlnx-1xln 2x（0＜x＜1），设函数h（x）=x-lnx-1，h'（x）=-lnx＞0在（0，1）上恒成立，∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=0在（0，1）上恒成立，∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，g（x）在（0，1）上单调递减，所以当0＜m＜1，0＜n＜1时，不存在．当三角形同在第四象限时，m＞1，n＞1，同理可得m，n不存在．③当三角形在不同象限时，不妨设0＜m＜1，n＞1时，若Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似，则OAm＞OBm，OAn＜OBn，则有lnmm-1=n-1lnn，设M={f1m|f1m=lnmm-1（0＜m＜1）}，N={f2（n）|f2（n）=n-1lnn（n＞1）}，有g（x）性质可得：取m∈（1e3，1e），f1（m）=lnmm-1在（1e3，1e）上单调递增，∴f1（m）∈[ee-1，3e3e3-1]，2∈[ee-1，3e3e3-1]取n∈[e，e2]，f2（n）=n-1lnn在[e，e2]递增，∴f2(n)∈[e-1，e2-12]，2∈[e-1，e2-12]．可得M∩N≠φ，因此存在0＜m＜1，n＞1，使得Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似．如果全等，则有.OA m=OB nOB m=OA n⇒-lnm=n-11-m=lnn⇒lnm=1-nlnn=1-m．由lnm=1-n⇒m=e1-n，代入lnn=1-m，lnn=1-e1-n⇒enlnn=en-e．设函数F（x）=exlnx-ex+e （x＞1），F'（x）=exlnx+exx-ex=exx（xlnx-x+1）．设函数H（x）=xlnx-x+1   （ x＞1），H'（x）=lnx+1-1=lnx＞0，所以H（x）在（1，+∞）上单调递增，∴H（x）＞H（1）=0．所以F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，F（x）在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞F（1）=0．因此不存在n＞1，使得enlnn=en-e．所以不存在两个互不相等且都不等于1的正实数m，n，使得Rt△OAmBm与Rt△OAnBn全等．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“函数y=ex（e为自然对数的底数）的图象.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.