已知f(x)=2x4x+1，x∈；试判断并证明f的单调性；当λ取何值时，方程f+f=λ有实数解？

题文

已知f(x)=2x4x+1，x∈（0，1）； （1）试判断并证明f（x）的单调性；   （2）当λ取何值时，方程f（x）+f（-x）=λ有实数解？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x1，x2∈（0，1），x1＞x2 ，-------------（1分）故有 f(x 1)-f(x 2)=2x14x2+1-2x24x2+1=2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)(4x2+1)(4x2+1)=(2x1+x2-1)(2x2-2x1)(4x2+1)(4x2+1)．-------（3分）∵2x1+x2＞1，2x2＜2x1∴f(x1)＜f(x2)，∴f（x）为减函数．---------（5分）（2）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴f（1）＜f（x）＜f（0），即 25＜f(x)＜12．∵f（-x）=2-x4-x+1=2x4x+1=f(x)，∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），即当x∈（0，1）时，45＜λ＜1．-------------（8分）

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解析

x 1

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=2x4x+1，x∈（0，1.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.