某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2005年进行一系列的促销活动．经市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3

题文

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2005年进行一系列的促销活动．经市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足：3-x与t+1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．又2005年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元．当将化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年的产销量相等．（1）试用促销费用t表示年销售量x．（2）将2005年的利润y万元表示为促销费t万元的函数．（3）该企业2005年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意：3-x=kt+1，且当t=0时，x=1．所以k=2，即x=3t+1t+1． （2）当年销量为x万件时，成本为3+32x（万元）．化妆品的售价为3+32xx×150%+12×tx（万元/万件）所以年利润y=(3+32xx×150%+12×tx)x-(3+32x+t)（万元）把x=3t+1t+1代入整理得到y=-t2+98t+352(t+1)，其中t≥0．去分母整理得到：t2+2（y-49）t+2y-35=0． （3）该关于t的方程在[0，+∞）上有解．当2y-35≤0，即y≤17.5时，必有一解．当2y-35＞0时，该关于t的方程必须有两正根所以4(y-49)2-4(2y-35)≥0-2(y-49)＞02y-35＞0．解得：17.5＜y≤42．综上，年利润最大为42万元，此时促销费t=7（万元）．

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解析

kt+1

考点

据考高分专家说，试题“某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.