在边长分别为6dm和4dm的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的长方形铁皮箱．切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最

题文

在边长分别为6dm和4dm的长方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的长方形铁皮箱．切去的正方形边长为多少时，铁皮箱的容积最大． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设切去的小正方形边长为x，其中x∈（0，2）；则长方体铁皮箱的底面长为（6-2x），宽为（4-2x），高为x；铁皮箱的容积为V（x）=（6-2x）（4-2x）x，x∈（0，2）；求导，得V′（x）=12x2-40x+24，令V′（x）=0，解得x=5-73，或x=5+73（舍去）；当x∈（0，5-73）时，V′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（5-73，2）时，V′（x）＜0，函数单调递减；所以，函数V（x）在x=5-73时取得最大值；即切去的正方形边长为5-73dm时，铁皮箱的容积最大．

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解析

5-73

考点

据考高分专家说，试题“在边长分别为6dm和4dm的长方形铁皮的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.