如图所示，将一个长为8m，宽为5m的长方形剪去四个相同的边长为xm的正方形，然后再将所得图形围成一个无盖长方体，试求x为多少时，长方体的体积最大？最大体积为多少

题文

如图所示，将一个长为8m，宽为5m的长方形剪去四个相同的边长为xm的正方形，然后再将所得图形围成一个无盖长方体，试求x为多少时，长方体的体积最大？最大体积为多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意边长为xm的正方形，容器的体积为f（x），则有V=f（x）=（8-2x）（5-2x）x=4x3-26x2+40x，（0＜x＜2.5）求导可得到：V′=12x2-52x2+40，由V′=12x2-52x2+40=0得x1=1，x2=103（舍去）．所以当x＜1时，V′＞0，当1＜x＜103时，V′＜0，当x＞103时，V′＞0，所以，当x=1，V有极大值f（1）=18，又f（0）=0，f（2.5）=0，所以当x=1，V有最大值f（1）=18．

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解析

103

考点

据考高分专家说，试题“如图所示，将一个长为8m，宽为5m的长方.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.