已知函数f=a

题文

已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞1），x∈[-2，+∞），若f（x）的最小值与a无关，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当x∈[0，+∞）时，f（x）=ax+2ax=3ax．∵a＞1，∴f（x）min=f（0）=3．当x∈[-2，0）时，f（x）=1ax+2ax．∵a＞1，∴1a2≤ax＜1．∵1ax+2ax≥22，当且仅当1ax=2ax，即ax=22时等号成立．∴若1a2＞22，即1＜a＜42，则f（x）min=f（1a2）=a2+2a2，若1a2≤22，即a≥42，则f（x）min=22．又∵a2+2a2＜3（否则，由a2+2a2≥3，得（a2-1）（a2-2）＞0，又a＞1，所以a2＞2，即a＞2，即a＞2，这与1＜a＜42矛盾），∴当1＜a＜42时，f（x）min=a2+2a2；当a≥42时，f（x）min=22．故当f（x）的最小值与a无关时，a的取值范围是[42，+∞）．

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

1ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a|x|+2ax（a＞.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.