某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连

题文

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[(1024x+20)x100+2]k元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设摩天轮上总共有n个座位，则x=kn即n=kx，y=8kkx+kx[(1024x+20)x100+2]k=k2(10x+1024x+20100)，定义域{x|0＜x≤k2，kx∈Z}；（6分）（2）当k=100时，令y=100(1000x+1024x+20)f(x)=1000x+1024x，则f′(x)=-1000x2+5121x=-1000+512x32x2=0，∴x32=12564⇒x=(12564)23=2516，（10分）当x∈(0，2516)时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈(0，2516)上单调减，当x∈(2516，50)时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈(2516，50)上单调增，ymin在x=2516时取到，此时座位个数为1002516=64个．（15分）

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解析

kn

考点

据考高分专家说，试题“某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.