在长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形，做成一个无盖的盒子．问剪去的正方形边长为多少时，盒子的容积最大，并求出最大容积．

题文

在长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形，做成一个无盖的盒子．问剪去的正方形边长为多少时，盒子的容积最大，并求出最大容积． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设截去四个相相同的小正方形的边长为x，则盒子的容积为：V（x）=x（32-2x）（20-2x）=4x（16-x）（10-x）V（x）=4（x3-26x2+160x）∴V′（x）=4（3x2-52x+160）令V′（x）=0即：3x2-52x+160=0解得x=4或x=403∵0＜x＜10∴x=403舍去，当x∈（0，4）时函数为增函数，当x∈（4，10）函数为减函数∴当x=4时盒子的容积最大，最大容积为1152cm2．

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解析

403

考点

据考高分专家说，试题“在长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.