已知函数f满足f(logax)=a1

题文

已知函数f（x）满足f(logax)=a1-a2(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值集合；（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令logax=t，则x=at，∴f(x)=a1-a2(at-a-t)…（2分）∴f(x)=a1-a2(ax-a-x)∴f(-x)=a1-a2(a-x-ax)=-a1-a2(ax-a-x)=-f(x)即y=f（x）为奇函数------…（2分）∵f′(x)=a1-a2(ax+a-x)lnaa＞1时  a1-a2＜0，lna＞0∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数0＜a＜1时∴x＜2，f(x)＞f(2)=a1-a2(a2-a-2)∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数综上f（x）为定义域上减函数…（2分）∵f（1-m）+f（1-m2）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m2）∴奇函数∴f（1-m）＜f（m2-1）∵减函数∴1-m＞m2-1-1＜1-m＜1-1＜m2-1＜1∴0＜m＜1…（2分）（2）∵y=f（x）为减函数∴x＜2，f(x)＞f(2)=a1-a2(a2-a-2)…（2分）若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0a1-a2•a4-1a2+3=-(a2+1)a+3≥0…（1分）∴3-52≤a≤3+52，a≠1…（1分）

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解析

a1-a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足f(logax)=a.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.