如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的

题文

如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的比值不超过正常数c，求V的最大值，并写出相应的x的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

长方体的底面正方形的边长为1-2x，高为x，所以，容积V=4（x-12）2x，铁皮箱的高度x与底面正方形的边长1-2x的比值x1-2x≤c，得 0＜x≤c1+2c，由均值不等式知V=2（12-x）（12-x）（2x）≥227，当12-x=2x，即x=16时等号成立．①当16≤c1+2c，即 c≥14，Vmax=227；②当16≤c1+2c，即 0＜c＜14时，V'（x）=12（x-13） 2-13，则V′（x）在（0，16）上单调递减，∴V'（x）≥V'（c1+2c）＞V'（16）=0，∴V（x）在（0，c1+2c]单调递增，∴Vmax=V（c1+2c）=c(1+2c)3总之，0＜c＜14时，则当x=时c1+2c，Vmax=V（c1+2c）=c(1+2c)3；若 c≥14，Vmax=227．

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义： 恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a>l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.