已知函数，若函数在上是减函数，求实数的取值范围；是否存在实数，当时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；当时

题文

已知函数

解析

（1）先对函数进行求导，根据函数h（x）在[2，3]上是减函数，可得到其导函数在[2，3]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围；（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3；（3）结合（2）知的最小值为3，只须证明即可，令，则在上单调递增，∴的最大值为 故，即得证.解：（1）令，则，  （1分））∵在上是减函数，∴在上恒成立，即在上恒成立 （2分）而在上是减函数，∴的最小值为  （4分）（2）假设存在实数，使有最小值是3，∵，若，则，∴在上为减函数，的最小值为∴与矛盾， （5分）若时，令，则当，即，在上单调递减，在上单调递增，解得   （7分）当，即时，在上单调递减∴与矛盾，  （9分）（3）∵，由整理得， （10分）而由（2）知的最小值为3，只须证明即可  （11分））令，则在上单调递增，∴的最大值为（12分）故，即   （14分）（接11分处另解， 即证，即证，令，则，求得从而得证）.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，（1）若函数在上是减函数，求实.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=logax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。