已知函数f(x)=lg(x+ax+1

题文

已知函数f(x)=lg(x+ax+1-1)，其中a是大于零的常数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；（3）若∀x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）x+ax+1-1＞0，x2+a-1x+1＞0，因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；当0＜a＜1时，定义域为(-1，-1-a)∪(1-a，+∞)．（2）令g(x)=x+ax+1-1=x+1+ax+1-2，当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，所以g(x)=x+ax+1-1=x+1+ax+1-2≥2a-2，当且仅当x+1=ax+1即x=a-1时等号成立．故f（x）的最小值为lg(2a-2)．（3）∀x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，即x+ax+1-1＞1，ax+1＞2-x，又x∈[0，+∞），则a＞（2-x）（x+1），a＞-x2+x+2恒成立，故a＞2．

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解析

ax+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=lg(x+ax+1-1.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=logax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。