已知函数f=log3图象过点A和B，设an=3f，n∈N*．求函数f的解析式及数列{an}的通项公式；（

题文

已知函数f（x）=log3（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设an=3f（n），n∈N*．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥a2n+1对一切n∈N*均成立的最大实数a；（Ⅲ）对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，记为{bn}，设Tn是数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知，得log (2a+b)3=1log (5a+b)3=2解得：a=2b=-1．∴f(x)=log3(2x-1)， (x＞12)…（2分）∴an=3log3(2n-1)=2n-1．n∈N*∴数列{an}的通项公式为an=2n-1…（4分）（Ⅱ）由题意a≤12n+1(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)对n∈N*均成立…（5分）记F(n)=12n+1(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)则F(n+1)F(n)=2n+2(2n+1)(2n+3)=2(n+1)4(n+1)2-1＞2(n+1)2(n+1)=1∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n）∴F（n）随着n的增大而增大…（7分）而F（n）的最小值为F(1)=233∴a≤233，即a的最大值为233…（8分）（Ⅲ）∵an=2n-1∴在数列{bn}中，am及其前面所有项之和为[1+3+5+…+（2m-1）]+（2+22+…+2m-1）=m2+2m-2…（10分）∵102+210-2=1122＜2008＜112+211-2=2167即a10＜2008＜a11…（11分）又a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+…+28=521…（12分）且2008-1122=886=443×2所以存在正整数m=521+443=964，使得Sm=2008…（14分）

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解析

log (2a+b)3=1log (5a+b)3=2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log3（ax+b）图.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=logax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。