若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数．有下列命题：①在内单调递增;②和之间存在“隔离直线

题文

若存在实常数

解析

(1)=，，则解得，所以在内单调递增;故①正确．(2)和之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为，当“隔离直线”与同时相切时，截距最小，令切点坐标为，则切线方程为所以，故，所以，此时截距最小，故②正确；此时斜率为，k的取值范围是．故③错误．④令F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），再令F′（x）═=0，x＞0，得x=，从而函数h（x）和m（x）的图象在x=处有公共点．因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则 隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e．由h（x）≥kx-k+e可得 x2-kx+k-e≥0当x∈R恒成立，则△=k2-4k+4e=≤0，只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．同理证明，由φ（x ）≤kx-k+e，可得只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2x-e，故④正确．

考点

据考高分专家说，试题“若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q；（2）逆命题：若q则p；（3）否命题：若则；（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”