在光滑水平面上静止着A、B两个小球，质量均为m，A球带电荷量为q的正电荷，B球不带电，两球相距为L．从t=0时刻开始，在两小球所在的水平空间内加一

题文

在光滑水平面上静止着A、B两个小球（可视为质点），质量均为m，A球带电荷量为q的正电荷，B球不带电，两球相距为L．从t=0时刻开始，在两小球所在的水平空间内加一范围足够大的匀强电场，电场强度为E，方向与A、B两球的连线平行向右，如图所示．A球在电场力作用下由静止开始沿直线运动，并与B球发生完全弹性碰撞．设两球间碰撞力远大于电场力且作用时间极短，每次碰撞过程中A、B之间没有电荷量转移，且不考虑空气阻力及两球间的万有引力．求：（1）小球A经多长时间与小球B发生第一次碰撞？（2）小球A与小球B发生第一次碰撞后瞬间A、B两球的速度大小分别是多少？（3）第二次碰撞后，又经多长时间发生第三次碰撞？

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）小球A在电场力的作用下做匀加速直线运动，L=12at12a=qEm  解得：t1=2mLqE．（2）小球A与小球B发生完全弹性碰撞，设A球碰前速度为vA1，碰后速度为vA1'，B球碰前速度为0，碰后速度为vB1'，m vA1=m vA1'+m vB1'12m vA12=12m vA1′2+12m vB1′2联立得：vA1'=0vB1'=vA1vA1=at1=2qELm  所以：vA1'=0，vB1'=2qELm（3）第一次碰撞后，小球A做初速度为0的匀加速直线运动，小球B以 vB1'的速度做匀速直线运动，两小球发生第二次碰撞的条件是：两小球位移相等．设第二次碰撞A球碰前速度为vA2，碰后速度为vA2'，B球碰前速度为vB2，碰后速度为vB2'，vA2=at2=qEmt2vB2=vB1'=2qELm．12at22=vB2t2 解得：t2=22mLqE   vA2=at2=22qELm．m vA2+m vB2=m vA2'+m vB2'12mvA22+12mvB22=12mvA2′2+12mvB2′2联立得：vA2'=vB2vB2'=vA2所以：vA2'=2qELmvB2'=22qELm第二次碰撞后，小球A做初速度为2qELm的匀加速直线运动，小球B以 vB2'的速度做匀速直线运动，两小球发生第三次碰撞的条件是：两小球位移相等．设第三次碰撞A球碰前速度为vA3，碰后速度为vA3'，B球碰前速度为vB3，碰后速度为vB3'，vB3=vB2'=22qELm2qELmt3+12at32=vB3t3解得：t3=22mLqE  即完成第二次碰撞后，又经t3=22mLqE的时间发生第三次碰撞，该时间不再发生变化．答：（1）小球A与小球B发生第一次碰撞所需的时间为t1=2mLqE．（2）小球A与小球B发生第一次碰撞后瞬间A、B两球的速度大小分别是0，2qELm．（3）第二次碰撞后，又经t3=22mLqE发生第三次碰撞．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“在光滑水平面上静止着A、B两个小球（可视.....”主要考查你对 [匀变速直线运动的导出公式 ]考点的理解。

匀变速直线运动的导出公式

平均速度公式：V=。

某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度：。 某段位移的中间位置的瞬时速度公式：。无论匀加速还是匀减速，都有。

匀变速直线运动中，在任意两个连续相等的时间T内的位移差值是恒量，即ΔS=Sn+l–Sn=aT2=恒量。

初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系推导：

初速度为零的匀加速直线运动(设其为等分时间间隔)：① t秒末、2t秒末、……nt秒末的速度之比：(Vt=V0+at=0+at=at)V1：V2：V3……Vn=at：a2t：a3t…：ant=1：2：3…：n②前一个t秒内、前二个t秒内、……前N个t秒内的位移之比：S1=v0t+at2=0+at2=at2；S2=v0t+a(2t)2=2at2；S3=v0t+at2=a(3t)2=at2；Sn=v0t+at2=a(nt)2=at2。S1：S2：S3…….Sn=at2：2at2：at2……at2=1：22：32….N2③ 第1个t秒内、第2个t秒内、……-第n个t秒内的位移之比：               （初速度为0）           （初速度为at）        （初速度为2at）        Sn=   （初速度为）    所以第一个t内、第二个t内、第三个t内……的位移之比为：sⅠ：sⅡ：sⅢ：……：sN=1：3：5：……：(2N-1)；④前一个s、前两个s、前三个s……所用的时间之比为：     因为初速度为0，所以                                                    因此前一个s、前两个s、前三个s……所用的时间之比为：t1：t2：t3：……：tn=1：……：⑤第一个s、第二个s、第三个s……所用的时间之比为tⅠ、tⅡ、tⅢ：……：         第一个s、第二个s、第三个s……所用的时间之比为tⅠ、tⅡ、tⅢ：……：tN=1：……：      。                       

初速为零的匀变速直线运动中的比例关系（设T为相等的时间间隔，s为相等的位移间隔）： ①T末、2T末、3T末……的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：……：vn=1：2：3：……：n； ②T内、2T内、3T内……的位移之比为：s1：s2：s3：……：sn=1：4：9：……：n2； ③第一个T内、第二个T内、第三个T内……的位移之比为：sⅠ：sⅡ：sⅢ：……：sN=1：3：5：……：(2N-1)； ④前一个s、前两个s、前三个s……所用的时间之比为：t1：t2：t3：……：tn=1：……：； ⑤第一个s、第二个s、第三个s……所用的时间之比为tⅠ、tⅡ、tⅢ：……：tN=1：……：。