设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an

题文

设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…） 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（必要性）设是{an}公差为d1的等差数列，则bn+1-bn=（an+1-an+3）-（an-an+2）=（an+1-an）-（an+3-an+2）=d1-d1=0所以bn≤bn+1（n=1，2，3，）成立．又cn+1-cn=（an+1-an）+2（an+2-an+1）+3（an+3-an+2）=d1+2d1+3d1=6d1（常数）（n=1，2，3，）所以数列{cn}为等差数列．（充分性）设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1（n=1，2，3，）∵cn=an+2an+1+3an+2①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4②①-②得cn-cn+2=（an-an+2）+2（an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2∵cn-cn+2=（cn-cn+1）+（cn+1-cn+2）=-2d2∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2③从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2④④-③得（bn+1-bn）+2（bn+2-bn+1）+3（bn+3-bn+2）=0⑤∵bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0，bn+3-bn+2≥0，∴由⑤得bn+1-bn=0（n=1，2，3，），由此不妨设bn=d3（n=1，2，3，）则an-an+2=d3（常数）．由此cn=an+2an+1+3an+2=cn=4an+2an+1-3d3从而cn+1=4an+1+2an+2-5d3，两式相减得cn+1-cn=2（an+1-an）-2d3因此an+1-an=12(cc+1-cc)+d3=12d2+d3（常数）（n=1，2，3，）所以数列{an}公差等差数列．综上所述：：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}、{bn}、{cn}满足：.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。