设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0．证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=na1

题文

设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0．证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=na1an+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：先证必要性设数列an的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．若d≠0，则1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=1d[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+ (1an-1an+1) ]=1d(1a1-1an+1)=na1an+1．再证充分性：用数学归纳法证明：①设所述的等式对一切n∈N都成立，首先在等式1a1a2+1a2a3=2a1a3①两端同时乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d．②假设ak=a1+（k-1）d，当n=k+1时，观察如下二等式：1a1a2+1a2a3+…+1ak-1ak=k-1a1a2②，1a1a2+1a2a3+…+ 1ak-1ak+1akak+1=ka1ak+1③将②代入③得k-1a1ak+1akak+1=ka1ak+1，在该式两端同时乘a1akak+1，得（k-1）ak+1+a1=kak，把ak=a1+（k-1）d代入后，整理得ak+1=a1+kd．由数学归纳法原理知对任何n∈N，都有1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=na1an+1．所以，{an}是公差为d的等差数列．

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解析

1a1a2

考点

据考高分专家说，试题“设数列a1，a2，…，an，…中的每一项.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。