求证：当f=ax2+bx+c时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f＜0．

题文

求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：必要性：设方程ax2+bx+c=0有不等实根x1＜x2，根据韦达定理有x1+x2=-ba，x1•x2=ca，取x0=x1+x22=-b2a，代入函数解析式可得f（x0）=a(-b2a)2+b(-b2a)+c=4ac-b24a，因为方程有两个实根，所以b2-4ac＞0，所以a•f（x0）=4ac-b24＜0成立；充分性：如果存在x0使得a•f（x0）＜0，即a2x2+abx+ac＜0在x=x0处成立，因为a2＞0，根据二次函数特点，x=-ab2a2处，a2x2+abx+ac 取得最小值，为f（-ab2a2）=ac-b24，既然它是最小值，那么f（-ab2a2）≤f（x0）＜0，所以ac-b24＜0，即b2-4ac＞0，故原方程必然有2个不等实根；综上可得：方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．

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解析

ba

考点

据考高分专家说，试题“求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。