对于定义在区间[m，n]上的两个函数f和g，如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式

题文

对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=loga（x-3a）与g(x)=loga1x-a（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，必须满足a+2-3a＞0a+2-a＞00＜a，a≠1⇒0＜a＜1（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，则|f（x）-g（x）|=|loga（x2-4ax+3a2）|⇒|loga（x2-4ax+3a2）|≤1即-1≤loga（x2-4ax+3a2）≤1（*）因为a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，所以函数g（x）=loga（x2-4ax+3a2）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而[g(x)]max=g(a+2)=loga(4-4a)[g(x)]min=g(a+3)=loga(9-6a)于是不等式（*）成立的充要条件是loga(4-4a)≤1loga(9-6a)≥-10＜a＜1⇒0＜a≤9-5712因此，当0＜a≤9-5712时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的；当1＞a＞9-5712时，函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是不“友好”的．

充分条件与必要条件知识点讲解,巩固学习

解析

a+2-3a＞0a+2-a＞00＜a，a≠1

考点

据考高分专家说，试题“对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。