设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边．求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx

题文

设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边．求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：充分性：当A=90°时，a2=b2+c2．…（2分）于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．…（5分）同样，x2+2cx-b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a）．…（7分）显然x1=x3，两方程有公共根．…（8分）必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m，…（9分）则m2+2am+b2=0    (1)m2+2cm-b2=0    (2)…（11分）（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．…（13分）将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]2+2a•[-（a+c）]+b2=0，整理得a2=b2+c2．…（15分）所以A=90°．故结论成立．…（16分）

充分条件与必要条件知识点讲解,巩固学习

解析

m2+2am+b2=0    (1)m2+2cm-b2=0    (2)

考点

据考高分专家说，试题“设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。