已知函数f=alnx+12x2

题文

已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x（a∈R）．（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；（2）已知命题P：f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，若命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，求实数t的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

求导函数，f′(x)=ax+x-(1+a)=(x-1)(x-a)x（Ⅰ）当0＜a＜1时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）f′（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间（a，1）…（6分）（Ⅱ）由于f(1)=-12-a，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是f(1)=-12-a，此时只要f（1）≥0即可，解得a≤-12，∴实数a的取值范围是(-∞，-12)．∴P成立的充要条件为(-∞，-12)．∵命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，∴t=-12．…（13分）

充分条件与必要条件知识点讲解,巩固学习

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=alnx+12x2-（.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。