已知a为实数，函数f=x2

题文

已知a为实数，函数f（x）=x2-2alnx．（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=12”． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）求导函数，可得f′(x)=2•x2-ax（x＞1）①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=1；②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得x=a当x∈(1，a)时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当x∈(a，+∞)时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数，∴x=a时，f（x）min=a-alna∴g(a)=1，a≤1a-alna，a＞1；（2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x2-2alnx-2ax，则g′(x)=2x(x2-ax-1) ①充分性：若a=12，则g（x）=x2-lnx-x，g′(x)=1x(2x+1)(x-1)当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，∴当x=1时，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号，∴方程f（x）=2ax有唯一解；②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x2-ax-a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=a+a2+4a2（另一根舍去）当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，+∞）上是单调递增函数．∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x1）=0，∴g(x1)=0g′(x1)=0∴x12-2alnx1-2ax1=0x12-ax1-a=0∴2alnx1+ax1-a=0∵a＞0∴2lnx1+x1-1=0设函数h（x）=2lnx+x-1∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．∵h（1）=0，∴方程2lnx1+x1-1=0的解为x1=1，即x1=a+a2+4a2=1，∴a=12由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=12”．

充分条件与必要条件知识点讲解,巩固学习

解析

x2-ax

考点

据考高分专家说，试题“已知a为实数，函数f（x）=x2-2al.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2、充要条件：一般地，如果既有，又有，就记作，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。 3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件： ①充分不必要条件：如果，且pq，则说p是q的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果pq，且，则说p是q的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件。