设a、b、c 为△ABC 的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx

题文

设a、b、c 为△ABC 的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0 与x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是A=90 ° 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：充分性：∵A=90 °，∴a2=b2+c2 ，于是方程x2+2ax+b2=0 可化为x2+2ax+a2-c2=0.   ∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0，∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0 ，∴该方程有两个根x1=-(a+c) ，x2=-(a-c).   同理，另一方程x2+2cx-b2=0 可化为x2+2ex-(a2-e2)=0 ，∴x2+2cx+(c+a)(c-a)=0 ，     ∴[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,     ∴该方程有两个根x3=-(a+c) ，x4=-(c-a )．可以发现x1=x3 ，∴这两个方程有公共根，     必要性：设α是两方程的公共根，    由①+②得2α2+2α(a+c) =0.    ∵α≠0∴α=-(a+c)，将α=-(a+c)代入①得a2=b2+c2．∴A=90°．    综上可知，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°

充分条件与必要条件知识点讲解,巩固学习

解析

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