已知函数f的定义域是{x

题文

已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠k2，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-1f(x)，当0＜x＜12时，f（x）=3x．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）求f（x）在区间(2k+12，2k+1)(k∈Z）上的解析式；（3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+12，2k+1)时，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f(x+1)=-1f(x)得f(x+2)=-1f(x+1)=f(x)，（3分）由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）故f（x）是奇函数．（5分）（2）当x∈(12，1)时，1-x∈(0，12)，∴f（1-x）=31-x．     （7分）而f(1-x)=-1f(-x)=1f(x)，∴f（x）=3x-1．       （9分）当x∈(2k+12，2k+1)(k∈Z）时，x-2k∈(12，1)，∴f（x-2k）=3x-2k-1，因此f（x）=f（x-2k）=3x-2k-1．                      （11分）（3）不等式log3f（x）＞x2-kx-2k即为x-2k-1＞x2-kx-2k，即x2-（k+1）x+1＜0．                          （13分）令g（x）=x2-（k+1）x+1，对称轴为x=k+12＜2k+12，因此函数g（x）在(2k+12，2k+1)上单调递增．         （15分）因为g(2k+12)=(2k+12)2-(k+1)(2k+12)+1=(2k+12)(k-12)+1，又k为正整数，所以g(2k+12)＞0，因此x2-（k+1）x+1＞0在(2k+12，2k+1)上恒成立，（17分）因此不存在正整数k使不等式有解．                     （18分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

1f(x)