已知函数f(x)=lg(3

题文

已知函数f(x)=lg(3-x3+x)，其中 x∈（-3，3）．（1）判别函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（-3，3）上单调性；（3）是否存在这样的负实数k，使f（k-cosθ）+f（cos2θ-k2）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数的定义域关于原点对称，由f(-x)=lg3+x3-x=lg(3-x3+x)-1=-lg(3-x3+x)=-f(x)．所以f（x）是奇函数．（2）任取-3＜x1＜x2＜3，则f(x1)-f(x2)=lg3-x13+x1-lg3-x23+x2=lg(3-x1)(3+x2)(3+x1)(3-x2)=lg9+3(x2-x1)-x1x29+3(x1-x2)-x1x2因为9+3（x2+x1）-x1x2＞9-3（x2+x1）-x1x2＞0，所以9+3(x2+x1)-x1x29-3(x2+x1)-x1x2＞1，即f（x1）-f（x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），即f（x）是（-3，3）上的减函数；（3）因为f（k-cosθ）+f（cos2θ-k2）≥0且f（x）是（-3，3）上的减函数，所以f（cos2θ-k2）≥-f（k-cosθ）=f（cosθ-k），即k＜0-3＜k-cosθ＜3-3＜cos2θ-k2＜3k-cos⁡θ≤k2-cos2θ恒成立．由k-cosθ≤k2-cos2θ得，k-k2≤cosθ-cos2θ恒成立．设y=cos⁡θ-cos2θ=-(cosθ-12)2+14．因为-1≤cosθ≤1，所以-2≤y≤14，所以k-k2≤-2，解得k≤-1． 同理：由-3＜k-cosθ＜3，得：-2＜k＜2．由-3＜cos2θ-k2＜3，得：-3＜k＜3，即综上所得：-3＜k≤-1．所以存在这样的k其范围为：-3＜k≤-1．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

3+x3-x