如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数．

题文

如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数．

题型：未知 难度：其他题型

答案

设三位数为100a+10b+c，a，b，c都是整数，0＜a≤9，0≤b，c≤9，c为奇数，那么 100a+10b+c11=9a+b+a-b+c11，∵a最小是1，b最大是9，c最小是0，即可得出，-8＜a-b+c，a最大是9，b最小是0，c最大是9，即可得出，a-b+c＜18．∴-8＜a-b+c＜18，要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11，（ 1）当a-b+c=0时，得9a+b=a2+b2+c2．以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得2a2+2（c-5）a+2c2-c=0把c=1，3，5，7，9 逐一讨论a的解当c=1时，无整数解，当 c=3，5，7，9时，无实数根；∴此时没有满足条件的三位奇数； （2）当a-b+c=11时，得9a+b+1=a2+b2+c2．以b=a+c-11代入，并整理为关于a的二次方程，得2a2+2（c-16）a+2c2-23c+131=0．把c=1，3，5，7，9 逐一讨论a的解当c=1时，无整数解，当 c=5，7，9时，无实数根；只有当c=3时，a=8，b=0适合所有条件．即所求三位数为803．综上所述，符合条件的三位数为803．

解析

100a+10b+c11

考点

据考高分专家说，试题“如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：①0不能做除数； ②有理数的除法和乘法是互逆运算；③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。