一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是

题文

（1）一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是______．（2）若1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x-y的值等于（ ）A．15    B．1    C．164    D．174（3）设N=11…1

1990个，试问N被7除余几？并证明你的结论．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）N+1为2～10的公倍数，要使N最小，取N+1为它的最小公倍数22×32×5×7=2520，故N的最小值为2520-1=2519，（2）设已知三数被自然数x除时，商数分别为a、b、c，

ax+y=1059…①bx+y=1417…②cx+y=2312…③②-①得：（b-a）x=358，③-②得（c-b）x=895，③-①得（c-a）x=1253，由此x为358、895、1253的公约数，x=179，1059÷179=5…164，y=164，x-y=179-164=15．故选A．（3）111111=7×15873，而1990=6×331+4，故只须考查1111被7除的余数，1111=7×158+5，故N被7除余5．

解析

ax+y=1059…①bx+y=1417…②cx+y=2312…③

考点

据考高分专家说，试题“（1）一个自然数N被10除余9，被9除余.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：①0不能做除数； ②有理数的除法和乘法是互逆运算；③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。