若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+2n+3n+4n能被10整除．

题文

若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+2n+3n+4n能被10整除．

题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：设a=1n，b=2n，c=3n，d=4n，因为n不是4的倍数，可设n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3．（1）当n=4k+1时，a=14k+1=1，b=24k+1=2?（24）k=2?（16）k，因为无论k为什么整数，（16）k的个位数都是6，则2?（16）k的个位数必为2，c=34k+1=3?（81）k，因为（81）k的个位数都是1，则3?（81）k的个位数必为3，同理d=44k+1的个位数是4，故当n=4k+1时，a+b+c+d的个位数是1+2+3+4的个位数，即0，所以能被10整除；（2）当n=4k+2时，a=14k+2=1，b=24k+2=4?（24）k=4?（16）k，因为无论k为什么整数，（16）k的个位数都是6，则4?（16）k的个位数必为4，c=34k+2=9?（81）k，因为（81）k的个位数都是1，则9?（81）k的个位数必为9，同理d=44k+2的个位数是6，故当n=4k+2时，a+b+c+d的个位数是1+4+9+6的个位数，即0，所以能被10整除；（3）当n=4k+3时，a=14k+3=1，b=24k+3=8?（24）k=8?（16）k，因为无论k为什么整数，（16）k的个位数都是6，则8?（16）k的个位数必为8，c=34k+3=27?（81）k，因为（81）k的个位数都是1，则27?（81）k的个位数必为7，同理d=44k+3的个位数是4，故当n=4k+3时，a+b+c+d的个位数是1+8+7+4的个位数，即0，所以能被10整除；综上所述，当n不是4的倍数时，1n+2n+3n+4n能被10整除．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：①0不能做除数； ②有理数的除法和乘法是互逆运算；③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。