名师马勇：对一道迎春杯数论题的两种解法的分析

题目：已知三个连续的自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。那么，这三个自然数中最小的一个是______。（第18届迎春杯试题）

解法一：设这三个连续自然数为A、B、C（A

先来考虑一个数C，因为A、B、C为三个连续自然数，所以C除以13余2，除以15余1，又是17的倍数。

C要同时满足①是17的倍数；②除以15余1；③除以13余2。

（1） 先让C满足①、②：满足17的倍数的有17、34、51......；满足除以15余1的有16、31、46……；同时满足两个条件的最小数是136，在136的基础上加上17和15的公倍数也是满足这两个条件的数。

（2） 在满足前两个条件的基础上，我们再来考虑条件③，在126上加17和15的公倍数，直到满足和除以13余2，那么这就是C的最小值，126＋17×15×6＝1666。

由于C＝1666，所以A＝1664、B＝1665。

上述解法采用的是基本的中国剩余问题的解法，基本的思路是首先考虑三个条件中的两个，通过试算的方式找出满足两个条件的最小数，在这个最小数的基础上加两个条件中的除数的公倍数（注意是公倍数，所有的公倍数，不只是最小公倍），就可以找出一系列满足这两个条件的数；在前面找出的数列中，再找出满足第三个条件的数即可，如果要求满足这三个条件的一系列数，那么就在找出满足三个条件的数的基础上，加上三个条件中的除数的公倍数便可得到。

解法二：设三个连续的自然数是n、n＋1、n＋2

由n是13的倍数，推知2n是13的倍数，那么2n－13也是13的倍数。

由n＋1是15的倍数，推知2n＋2是15的倍数，那么2n-13也是15的倍数。

由n＋2是17的倍数，推知2n＋4是17的倍数，那么2n-13也是17的倍数。

因为2n－13＝2（n＋1）－15＝2（n＋2）－17，所以2n－13应该是13、15、17的公倍数。[13、15、17]＝3315＝2n－13，所以n＝1664。当2n－13＝3315×3的时候，n>2002不合题意，再往后考虑n更大，所以符合题目要求的三个数中，最小的是1664。

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