等比数列试题含答案

2024年2月26日发(作者：靳之林)

21．(文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a5，a2＝2，则a1＝( )

A．2

C.2

2B.2

1D.

2[答案] B

2[解析] ∵a3·a9＝(a6)2＝2a5，

a6∴()2＝2，又{an}的公比为正数，

a5a6a2∴q＝＝2.∴a1＝q＝2.

a5(理)(2013·唐山一中第一学期第二次月考)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )

A．52 B．7

C．6 D．42

[答案] A

[解析] ∵{an}为正项等比数列，

∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，且a4a5a6>0，

∴a4a5a6＝a1a2a3·a7a8a9＝52，故选A.

an＋112．已知{an}满足：a1＝1，a＝，则数列{an}是( )

2nA．递增数列

C．常数列

[答案] B

an＋11[解析] ∵a1＝1，q＝a＝，

2n∴0

B．递减数列

D．无法确定

3．(2012·新课标理，5)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )

A．7

C．－5

[答案] D

[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．

a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，

a4＝4，a7＝－2⇔a1＝－8，a10＝1⇔a1＋a10＝－7，

a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇔a1＋a10＝－7.

4．(文)一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )

A．13项

C．11项

[答案] B

[解析] 设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，333n－6a1qn－2，a1qn－1，所以前三项之积a3q＝2，后三项之积a＝4.所11q63(n－1)n－1以两式相乘，得a1q＝8，即a2＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，1qB．5

D．－7

B．12项

D．10项

an1q

n(n－1)22n－1n

＝64，即(a1q)＝642，即2n＝642.所以n＝12，本题利用通项公式转化为基本量a1，q的关系加以解决，利用基本量沟通已知和所求是常用的方法，注意体会．

(理)设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20＝( )

A．1 025

C．10 250

[答案] C

B．1 024

D．10 240

[解析] ∵log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N＋)，

∴log2xn＋1＝log2(2xn)，

xn＋1∴xn＋1＝2xn，x＝2(n∈N＋)，

n又xn>0(n∈N＋)，所以数列{xn}是公比为2的等比数列，由x1＋x2＋…＋x10＝10得到x1＝10，

210－1x11－220所以S20＝＝10×(210＋1)＝10 250.

1－25．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )

A．80

C．26

[答案] B

[解析] 据等比数列性质：

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，

则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，

∵Sn＝2，S3n＝14，

∴(S2n－2)2＝2×(14－S2n)．

又S2n>0得S2n＝6，

又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，

∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)．解得S4n＝30.

6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )

A．0

C．－1

B．1

D．2

B．30

D．16

[答案] C

[解析] 据题意知数列为等比数列，又当公比q≠1时，等比数a11－qna1a1na1列前n项和公式为Sn＝＝－q，令＝a，则有1－q1－q1－q1－qSn＝a－aqn，故若Sn＝k＋3n，则k＝－1，此外本题可由已知得数列前3项，利用3项为等比数列即可求得k值．

7．(2012·江西文，13)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.

[答案] 11

[解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，

设{an}公比为q，则an＋2＋an＋1 －2an＝a1qn＋1＋a1qn－2a1qn－1＝0，所以q2＋q－2＝0，即q＝－2，q＝1(舍去)，

1－－25∴S5＝＝11.

1－－28．在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋22an＝2n－1，则a21＋a2＋…＋an等于________．

1[答案] (4n－1)

3[解析] 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，

∴a1＝1，a2＝2，q＝2

又∵{an}是等比数列

∴{a2n}也是等比数列，首项为1，公比为4

n1－41n222∴a1＋a2＋…＋an＝＝(4－1)．

1－439．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.

(1)求数列{bn}的通项公式；

5(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．

4[解析] (1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.

依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.

所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.

依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，

解得d＝2或d＝－13(舍去)．

故{bn}的第3项为5，公比为2.

5由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.

45所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn45n－1＝·2＝5·2n－3.

451－2n455(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n441－2－255，所以S1＋＝，

42Sn＋1＋52n－145·＝n－2＝2，

55·2Sn＋455因此{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列.

421．(文)在正项等比数列{an}中，若a2·a4·a6·a8·a10＝32，则log2a71－log2a8＝( )

21A.

8

1B.

6

1C.

4[答案]D

1D.

2[解析] ∵a2·a4·a6·a8·a10＝32，∴a6＝2，

1a7a6a8∴log2a7－log2a8＝log2＝log2

2a8a8＝log2a6＝log212＝.

21(理)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，2a4＋a5则的值为( )

a3＋a45－1A.

21－5C.

2[答案] B

[解析] 设{an}的公比为q，则q>0.

1∵a2，a3，a1成等差数列，

2∴a3＝a1＋a2，∴a1q2＝a1＋a1q，

∵a1≠0，∴1＋q＝q2，

5＋1又∵q>0，∴q＝，

2a4＋a55＋1∴＝q＝.

2a3＋a42．(2012·北京文，6)已知数列{an}为等比数列，下面结论中正确的是( )

A．a1＋a3≥2a2

5＋1B.

25－15＋1 D.或

22

22B．a1＋a3≥2a22

C．若a1＝a3，则a1＝a2

D．若a3＞a1，则a4＞a2

[答案] B

[解析] 本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．

当a1<0，q<0时，a1<0，a2>0，a3<0，所以A错误；而当q＝－1时，C错误；当q<0时由a3>a1得a3q

3．若数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则an等于________．

[答案] 2n－1

[解析] an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，

a－a＝2即…a－a＝2322nn－1a2－a1＝2n－1

相加：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，

∴an＝2n－2＋a1＝2n－1.

4．(2012·辽宁文，14)已知等比数列{an}为递增数列，若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.

[答案] 2

[解析] 本题考查了等比数列的通项公式．

∵{an}是递增的等比数列，且a1>0，

∴q>1，

又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，

∴2an＋2anq2＝5anq，

∵an≠0，

∴2q2－5q＋2＝0，

1∴q＝2或q＝(舍去)，

2∴公比q为2.

(理)(2012·辽宁理，14)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

[答案] 2n

[解析] 本题考查等比数列通项公式的求法．

429由题意，a25＝a10，则(a1q)＝a1q，∴a1＝q.

又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，

∴2q2－5q－2＝0，∵q>1，∴q＝2，a1＝2，

∴an＝a1·qn－1＝2n.

15．(2012·陕西文，16)已知等比数列{an}的公比q＝－.

21(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；

4(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．

11[解析] (1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，

421n1n－11×[1－－]2＋－22所以数列{an}的前n项和Sn＝＝.

131－－2(2)证明：对任意k∈N＋，

2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)

＝a1qk－1(2q2－q－1)，

1由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.

2所以，对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．

116．(文)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.

33(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an；

2(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

11n－11[解析] (1)因为an＝×3＝n，

331111－n1－n333Sn＝＝，

121－31－an所以Sn＝.

2(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an

＝－(1＋2＋…＋n)

nn＋1＝－.

2nn＋1所以{bn}的通项公式为bn＝－.

22(理)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a3＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

1(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b}的前n项和．

n[解析] (1)设数列{an}的公比为q.

1222由a2＝9aa得a＝9a，所以q＝.

3263491由条件可知q>0，故q＝，

3

1由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝，

31故数列{an}的通项公式为an＝n.

3(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an

＝－(1＋2＋…＋n)

nn＋1＝－.

21211故b＝－＝－2(n－)，

nn＋1n＋1n111111112n＋＋…＋b＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(n－)]＝－.

b1b2223n＋1n＋1n12n所以数列{b}的前n项和为－.

n＋1n7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝k·2n＋m，k≠0，且a1＝3.

(1)求数列{an}的通项公式；

n(2)设bn＝a求数列{bn}的前n项和Tn.

n[解析]

3＝2k＋m， ①(1)依题意有3＋a2＝4k＋m， ②3＋a2＋a3＝8k＋m. ③

解得a2＝2k，a3＝4k，

a3∴公比为q＝＝2，

a2a2∴＝2，∴k＝3，

3代入①得m＝－3，

∴an＝3·2n－1.

nn(2)解bn＝a＝n－1，

3·2n123nTn＝(1＋＋2＋…＋n－1)，④

3222n－1n1112T＝(＋＋…＋n－1＋n)，⑤

2n32222211111n④－⑤得Tn＝(1＋＋2＋…＋n－1－n)，

23222211·1－n2n421n－Tn＝12n＝3(1－2n－2n1)．

31－2＋