等比数列练习题及答案精选

2024年2月26日发(作者：仇远)

等比数列练习题及答案精选.

等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。常数称为公比，用q表示。

1.选项中真命题的个数为3，分别是①、②、④。

2.前17项之积为a9^2*(-2)^(17-9)=-2^8*3^2=-2304，选项B。

3.根据等比数列前n项和公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入a3=7和S3=21，得到q=1/2，选项B。

4.根据等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)，代入a6=6和a9=9，解得q=3/2，再代入a3=a6/q^3=4，选项A。

5.设等差中项为x，等比中项为y，则根据题意可列出方程组：x-y=6，y^2=x*(x+12)，解得y=5，x=11，所以方程为x^2-11x+25=0，选项B。

6.根据等比数列前n项和公式Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，代入a和q=1.1，得到S5=1.1^4*3.1a，所以5年后的总产值为1.1^5a，选项C。

7.根据等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)，代入a9+a10=a和a19+a20=b，解得a1=b/(q^18*q^9+q^19)=b*q^9/(q^27+q^18)，

所以a99+a100=b*q^90/(q^108+q^99)+b*q^91/(q^108+q^99)=b*q^90(q/q^9+1)/(q^9+1)^2，选项B。

8.根据等比数列前n项和公式Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，代入前5项和3和前15项和39，解得a=2/3，所以前10项和为a*(1-q^10)/(1-q)=32，选项A。

9.设n倍为k，则12月份产值为k倍的1月份产值，所以月平均增长率为k^(1/11)-1，选项A。

10.根据等比数列前n项乘积公式an=a1*q^(n-1)，代入q=2和a1*a2*a3*。*a30=230，得到a3*a6*a9*。*a30=a1*a2*a3*。*a30/a1^2/a2^2=230/4=57.5，选项B。

11.根据等比数列前n项和公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入n=1，得到k=3/4，选项B。

12.根据等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)，代入a_n*a_(n+1)=16n，解得q=2，选项A。

二、填空题：

13.q=4.a_n=48

14.q=1/2

15.a_10=-32

16.a_n=3*2^(n-1)

三、解答题：

17.S_n=a(1-q^n)/(1-q)=48

S_2n=a(1-q^(2n))/(1-q)=60

S_3n=a(1-q^(3n))/(1-q)

S_2n/S_n=(1-q^n)/(1-q^(2n))=60/48=5/4

解得q=1/2或-1

当q=-1时，S_3n=-48，不符合题意

当q=1/2时，S_3n=a(1-1/8)/(1-1/2)=56

所以，S_3n=56

19.a_1+a_n=66

a_2*a_(n-1)=128

S_n=a(1-q^n)/(1-q)=126

由a_2*a_3=128，可得a_3=64/a_2

代入a_1+a_4=66，可得a_1=2a_2

代入S_n=a(1-q^n)/(1-q)=126，可得a=(252-126q)/(2^n-1)

将a_1=2a_2代入a_1+a_n=66，可得a_2=22

将a_2=22代入a_2*a_3=128，可得a_3=32

将a_2=22代入S_n=a(1-q^n)/(1-q)=126，可得q=2/3，n=4

所以，公比q=2/3，项数n=4

20.S_4=a(1-q^4)/(1-q)=1

S_8=a(1-q^8)/(1-q)=17

将S_4=a(1-q^4)/(1-q)=1代入a(1-q^8)/(1-q^4)=17，可得q=2

将q=2代入S_n=a(1-q^n)/(1-q)=S_8，可得a=15/2

所以，a_n=15*2^(n-1)

21.a_1+a_4=133

a_2+a_3=70

将a_1+a_4=133代入a_4=a_1*q^3，可得q=3

将q=3代入a_2+a_3=70，可得a_2=10，a_3=20

所以，a_n=10*3^(n-1)

22.(1) a_3=4，a_4*a_5*a_6=212

可得a_4=2，a_5=3，a_6=35/2

将a_1=a_3/q^2代入S_n=a(1-q^n)/(1-q)=210-1，可得q=2/3，a_1=16/9

2) 将q=2/3，a_1=16/9代入S_n=a(1-q^n)/(1-q)=210-1，可得n=5

19.已知数列 ${a_n}$ 的前四项和为 $1$，前八项和为

$17$，设公比为 $q$。因为 $S_4=1neq0$ 且 $S_8=17neq0$，所以 $qneq1$。根据等比数列前 $n$ 项和公式，得到：

begin{cas}

a_1frac{1-q^4}{1-q}=1

a_1frac{1-q^8}{1-q}=17

end{cas}

解得 $a_1=frac{1}{1-q}$，代入第二个方程中，整理可得

$q=-2$ 或 $q=2$。因此，数列 ${a_n}$ 的通项公式为 $a_{2n-1}=(-1)^ncdot2^{2n-1}cdot15$ 或 $a_n=5$。

20.已知数列 ${a_n}$ 的第三项与第五项之和为 $133$，第二项与第五项之和为 $7052$，设公比为 $q$。设 $a_1=x$，则：

begin{cas}

x+aq=133

x+aq^3=7052

end{cas}

将 $q=-2$ 或 $q=5$ 代入可解得 $x=125$ 或 $x=8$。因此，数列 ${a_n}$ 的通项公式为

$a_n=125cdotleft(frac{2}{5}right)^{n-1}$ 或

$a_n=8cdot5^{1-n}$。